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Die Präpositionen, die du anführst, sind einander oft sehr ähnlich und teilweise tatsächlich austauschbar. Allerdings wird dabei häufig der Akzent verschoben. Manches geht aber auch nicht, und das ist einfach eine Sache des Sprachgebrauchs. Zuweilen gibt es hierbei möglicherweise auch regionale Unterschiede.

> a) Anhand der neuesten Wasseranalysen konnte bestätigt werden, dass das Trinkwasser nicht gefährdet wird.

Anhand bedeutet mithilfe. Beide Präpositionen sind neutral, bringen also keine Wertung ins Spiel. Bei anhand kann mitschwingen, dass man tatsächlich etwas in die Hand nimmt, etwa einen Bericht.
Dank beinhaltet in der Regel eine positive Wertung, d.h. man begrüßt das Ergebnis, das dank eines Umstands erreicht wurde. Das kann auch ironisch gemeint sein.

> b) Es war nicht einfach, angesichts dieser Schwierigkeiten den Straßenverlauf zu ändern ohne die Kosten erheblich zu erhöhen.

Angesichts bedeutet im Hinblick auf und hat ebenso wie aufgrund eine kausale Bedeutung. In diesem Zusammenhang kann ich keinen nennenswerten Unterschied feststellen. Angesichts betont vielleicht den Aspekt, dass man den Schwierigkeiten ins Auge sieht (to face im Englischen). Eleganter wird der Satz auf jeden Fall, wenn er mit "Angesichts/Aufgrund dieser Schwierigkeiten war es ..." beginnt.

> c) Aufgrund (anhand?) des tatkräftigen Einsatzes der Ingenieure konnte dies jedoch geschafft werden.

Hier würde ich schlicht durch sagen. Aufgrund ist auch möglich, klingt aber etwas gestelzt (vielleicht ist das ja Absicht). Anhand geht m. E. nicht, weil hier weniger an ein Mittel gedacht ist als an einen Grund.

> d) Jeder Arbeitsplatzsuchende sollte aber aus Enttäuschung nicht gleich den Mut verlieren, wenn er auf seine ersten Bewerbungen Absagen als Antwort erhält.

Für mich klingt beides nicht gut. Wenn, dann eher noch aus Enttäuschung. Ich singe vor Freude, mache mir in die Hose vor Angst, aber ich verliere nicht vor Enttäuschung den Mut. Möglich wäre vielleicht: "vor lauter Enttäuschung".

Ich würde den Satz so formulieren:
Ein Arbeitsplatzsuchender, der enttäuscht ist, weil er auf seine ersten Bewerbungen nur Absagen erhält, sollte nicht gleich den Mut verlieren.

> e) Man kennt ja schließlich die anderen Bewerber nicht, und auf keinen Fall darf man aus Bescheidenheit eine Chance verpassen.

Man könnte viellleicht auch sagen: "vor lauter Bescheidenheit".

Ich hoffe, das hilft dir etwas.

Gruß,
Andreas